2022高联平面几何的一种解法

云深在何处

本文章记录一下本人在高联考场上对于这道题的真实心路历程.
题目:

如图, 凸四边形 ABCD 中, \angle ABC=\angle  ADC=90^\circ , P 为对角线 BD 上一点满足 \angle APB=2\angle CPD . AP 上的点 X , Y 满足 \angle AXD=2\angle ABD , \angle AYB =2\angle ADB .求证: \displaystyle BD=2XY.  

说实话, 我在发卷的时候看到这个图形, 顿时吸了一口凉气, 因为我感觉这种题就是那种需要构造诡异的旋转相似或其他不易想到的几何构型来解决的题, 而这种题是我最不擅长的. 读了题以后发现还好, 就是某些条件难以利用.
先看一下条件吧. 显然 A, B, C, D 共圆, 圆心为 AC 中点. 我们不妨画出来.


我很快发现 \angle AXD=2\angle ABD=\angle AOD , 所以 A, X, O, D 共圆. 同理, A, O, Y, B 共圆.


我观察到, \triangle XOY 应该可以参与由两圆相交的性质所产生的相似中, 于是我尝试构造如下辅助线.


但是经过一顿三角计算后, 我发现 BD=2XY 的必要条件是 CD=2OY ! 我立刻意识到我的辅助线是没有必要的, 应该是有如下一组相似: \triangle XOY\sim\triangle BCD . 这并不难证明, 导角即可. 请读者自行完成.


那么, 我们欲证 \displaystyle\frac{BD}{XY}=2 , 只须 \dfrac{CD}{OY}=2 或 \dfrac{BC}{XO}=2  ,本人选择了前者.
我发现还有一个条件: \angle APB=2\angle CPD 没有利用上. 我发现 CP 的延长线为 \angle APB 的平分线, 将 AP 延长亦可得到类似结论. 我选择了后者, 即延长 AP , CD 交于 E .


于是就有了 PC 平分 \angle EPD .
我于是开始研究如何计算 \dfrac{CD}{OY} , 这主要是计算棘手的 OY . 我发现可以在 \triangle AOY 中运用正弦定理, 可以得到 OY=\dfrac{OA\sin\angle OAY}{\sin\angle OYA}=\dfrac{R\sin \angle OAY}{\sin \angle BAC} , 其中 R 为大圆的半径. 我发现可以通过在 \triangle ACE 中运用正弦定理可以计算 \sin \angle OAY ,即 \sin \angle EAC=\dfrac{EC\sin\angle ACE}{AE} . 于是,
\displaystyle\begin{align*} OY&=\dfrac{R\sin \angle OAY}{\sin \angle BAC}\\ &=\dfrac{R\cdot EC\sin\angle ACE}{AE\sin \angle BAC}. \end{align*}
剩下较难处理的就是 EC 了, 我们发现角平分线还没用上, 此时刚好可以利用: EC=\dfrac{DC\cdot PE}{PD}=\dfrac{DC\sin\angle PDE}{\sin\angle PED} .
那么我们再代入就能得到
\displaystyle\begin{align*} OY&=\dfrac{R\sin \angle OAY}{\sin \angle BAC}\\ &=\dfrac{R\cdot EC\sin\angle ACE}{AE\sin \angle BAC}\\ &=\dfrac{R\cdot DC\sin\angle PDE\sin\angle ACE}{AE\sin\angle PED\sin \angle BAC}. \end{align*}
我惊喜地发现分母中的 AE\sin\angle PED 正好等于 AD ! 于是
\displaystyle\begin{align*} OY&=\dfrac{R\sin \angle OAY}{\sin \angle BAC}\\ &=\dfrac{R\cdot EC\sin\angle ACE}{AE\sin \angle BAC}\\ &=\dfrac{R\cdot DC\sin\angle PDE\sin\angle ACE}{AE\sin\angle PED\sin \angle BAC}\\ &=\dfrac{R\cdot DC\sin\angle BDC\sin\angle ACD}{AD\sin\angle BAC}\\ &=\dfrac{R\cdot DC\cdot(BC/2R)\cdot(AD/2R)}{AD\cdot(BC/2R)}\\ &=\dfrac{DC}{2}. \end{align*}
得证!

(过程就懒得整理了, 并不困难, 留给读者吧(～￣▽￣)～)

行不更名坐不改姓

报告！别开枪，我就是路过来看看的。。。