高中数学：二面角的四种经典求法

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求二面角是高考数学的热点问题，几乎在每一年高考数学中都有涉及到求解二面角。只要我们掌握了以下四种经典求法，基本就能应对所有的求解二面角的问题。
1、定义法：过二面角棱上任一点，在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为所求二面角的平面角。



例1、如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.
(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；
(2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.







二、射影面积求二面角
平面ABC与平面a所成二面角为θ，它在平面a内的投影为DBC，则平面ABC与平面a所成二面角的余弦值为射影面积与原面积的比：







3、三垂线法
三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
根据三垂线定理的思想构造出二面角的平面角，继而求出二面角的平面角的方法。
例3、如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，俯视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点。
（1）求证：VD∥平面EAC；
（2）求二面角A-VB-D的余弦值。





四、法向量法
适用于容易建立直角坐标系的题目。先求出与二面角的两个面垂直的两个向量所成的角，利用此角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角。
例4、同例3第（2）问
如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，俯视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点。
求二面角A-VB-D的余弦值。





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