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多元函数微分法及其应用
一、多元函数的基本概念
1.平面点集 * n 维空间
二元有序实数组 (x,y) 的全体，即 R^2=R\times R=\left\{ (x,y)|x,y\in R \right\} 表示二维平面
（1）平面点集：
坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合
记作 E=\left\{ (x,y)|(x,y)具有性质P \right\}
在 R^2 中：
邻域的概念：
设 P_0(x_0,y_0) 是 xO y 平面上的一个点， \delta 是某一正数，，与点 P_0(x_0,y_0) 距离小于 \delta的点 P(x,y) 的全体，称为点 P_0 的邻域。记作 U(P_0,\delta) 。
即 U(P_0,\delta)=\left\{ P||PP_0|<\delta \right\}
（或者 U(P_0,\delta)=\left\{ (x,y)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} <\delta\right\}
（几何意义：表示以点为圆心， \delta 为半径的圆内部的所有点）
（这个邻域包括点 P_0 ，如果不包括，就叫去心邻域）
去心邻域：记作 \mathring{U}(P_0,\delta)
\mathring{U}(P_0,\delta)=\left\{ P|0<|PP_0| <\delta\right\}
（在不强调 \delta 时，可以省略掉不写，只留 U(P_0) )
（2）点和点集之间的关系
（用点集表示）
任意一点 P\in R^2 与任意一个点集 E\subset R 之间必有如下三种情况中的一种：
①内点：
如果存在点 P 的某个邻域 U(P) ，使得 U(P)\subset E ，那么称 P 为 E 的内点。
（就是点 P 在 E 这个里面）
（定义是说包含点的一个小区域在 E 里面，那么点就一定在里面）
②外点：
如果存在点 P 的某个邻域 U(P) ，使得 U(P)\cap E=\phi ，那么称 P 为 E 的外点。
（就P 在 E 这个外面）
（包含点的一个小区域不在 E 里面，那点也一定不在里面）
③边界点：
如果点 P 的任一邻域既含有属于 E 的点，也含有不属于 E 的点，那么就i是边界点。
（注意：此处是对于任意，和前两个存在不一样。）
（可以理解成 E 的边界处的线，点应该在线上，但是 E 不一定包含这条曲线。）
其中， E 的边界点的全体，称为 E 的边界，记作 ∂E
（显然有：内点必属于 E ，外点必不属于 E，边界点不一定）
（除了以上的三种关系之外，还有一种关系如下：）
聚点：
如果对于任意给定的 \delta>0 ，点 P 的去心邻域\mathring{U}(P_0,\delta)内总有 E 中的点，，那么称 P 是 E 的聚点。
所有聚点组成的点称为 E 的导集。
（点集 E 的聚点 P ，可以属于 E ，也可以不属于 E ）
（聚点可以是 E 的边界点）
注意：
（1） E 的内点必在 E 内，外点必不在 E 内
（2） E 的边界点可能属于 E ，也可能不属于 E
（3）点 P 是 E 的聚点，一定可以推出 P 为 E 的内点或边界点
（4）内点一定是聚点，但边界点不一定是聚点。
（3）一些重要的平面点集
①开集：点集 E 的点都是内点
②闭集：点集 E 的边界 ∂E\subset E
（约定 R^2、\Phi 既是开集又是闭集）
③连通集：点集 E 中任意两点都可以用一个完全属于 E 的折线相连
④区域（开区域）：连通的开集
⑤闭区域：开区域连同它的边界一起构成的点集
（注意，整个平面是最大的开区域，也是最大的闭区域）
⑥有界集：对于平面点集 E ，如果存在某一正数 r ，使得 E\subset U(o,r) ，其中 O 为坐标原点
（有界集总是可以被包含在一个以原点为圆心的相当大的圆内）
⑦无界集：不是有界集的集合。
（4）* n 维空间
设 n 为取定的一个正整数，用 R^n 表示 n 元有序实数组 (x_1,x_2,...,x_n) 的全体所构成的集合，即
R^n=R\times R\times ...\times R=\left\{( x_1,x_2,...,x_n)| x_i\in R,i=1,2,..,n\right\}
在 R^n 中规定：
向量的线性运算 ( x_1,x_2,...,x_n)+( y_1,y_2,...,y_n)=( x_1+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n)
\lambda( x_1,x_2,...,x_n)=( \lambda x_1, \lambda x_2,...,\lambda x_n)
其中 (0,0,...,0) 叫做零元，坐标原点， n 维零向量
定义：
两点之间距离 x=( x_1,x_2,...,x_n) 和 y=( y_1,y_2,...,y_n) 为 \rho(x,y) 或 ||x,y||
=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+...+(x_2-y_2)^2}
若已知动点 x=( x_1,x_2,...,x_n) 和固定点 a=( a_1,a_2,...,a_n)
若满足 ||x-a||\rightarrow 0 ，则称变元 x 在 R^n 中趋于固定点 a ，记作 x\rightarrow a
（也就是说点 x 的每一个分量都趋近于对应的 a 的分量）
R^n 中点 a 的 \delta 邻域 U(a,\delta)=\left\{ x|x\in R^n,\rho(x,a)<\delta,\delta>0 \right\}
2.多元函数的概念
定义：设 D 是 R^n 的一个非空子集，称映射 f:D\rightarrow R 为定义在 D 上的 n 元函数，记作
u=f(x_1,x_2,...,x_n) ，或 u=f(P),P\in D
D 是定义域， u 是值域
定义域：使表达式有意义的变元 x 的值所组成的点集
（二元函数的定义域在几何上表示为一个平面，是由 x、y 的函数关系确定的、围成的区域）
3.多元函数的极限
（1）对于二元函数的极限（也叫二重极限）
定义：设二元函数 z=f(P)=f(x,y) 的定义域为 D ， P(x_0,y_0) 是 D 的聚点，如果存在常数 A ，对于任意给定的正数 \varepsilon ，总存在正数 \delta ，使得当点 P(x,y)\in D\cap \mathring{U}(P_0,\delta) 时，都有
|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\varepsilon 成立，那么就称常数 A 为函数 f(x,y) 当 (x,y)\rightarrow(x_0,y_0) 时的极限
（也就是 0<|PP_0|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\varepsilon 对于一切在定义域中的点成立）
（注意：在 P\rightarrow P_0 中，趋近方式是任意的，可以从任意方向趋近）
（如果从某两个方向趋近得到的极限不一样，那么极限就不存在）
（注意判断极限是否存在，反例好找，证明不易）
（一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用）
确定极限不存在的方法：
①令 P(x,y) 沿 y=kx 的方向趋近，如果极限与 k 有关，那么极限不存在
②从某两个方向趋近，使得两个方向的极限都分别存在但不相等，那么极限不存在
4.多元函数的连续性
（1）定义：设二元函数 f(P)=f(x,y) 的定义域为 D ， P_0(x_0,y_0)\in D ， P_0 为 D 的聚点。
如果 \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}{f(P)}=f(P_0) ，
则称函数 f(x,y) 在 P_0 连续，否则为间断
（如果函数在定义域的每一点都连续，那么就叫函数在 D 上连续，或者叫在定义域上的连续函数）
（注意：如果一个二元函数在 P_0(x_0,y_0) 处连续，那么固定一个变量变为一元函数 f(x_0,y)或 f(x,y_0) 之后仍然连续，但是反过来不成立）
（2）多元初等函数
能用一个式子表示的多元函数，其中这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的。
性质:一切多元初等函数在定义区域内连续
（定义区域指包含在定义域内的开或闭区域）
（3）连续性求极限
如果 f(P) 是初等函数，且 P_0 是函数定义域的内点，则 \lim_{P \rightarrow P_0}{f(P)}=f(P_0)
（4）在有界闭区域 D 上的多元函数的性质
①（有界性与最大最小值定理）
在有界闭区域 D 上的多元连续函数，必定在 D 上有界，且能取到它的最大值和最小值
（就是说这个条件下，函数一定有界，还有最大最小值，都能取到）
②（介值定理）
在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值
③*（一致连续性定理）
在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续
（就是说，在这个条件下，对于任意给定的正数 \varepsilon ，总存在正数 \delta ，使得在 D 内的任意两点 P_1,P_2 ,满足当 |P_1P_2|<\delta 时，有 |f(P_1)-f(P_2)|<\varepsilon 成立）
二、偏导数
定义：
设函数 z=f(x,y) 在点 (x_0,y_0) 的某一邻域内有定义，当 y 固定在 y_0 而 x 在 x_0 处有增量 \Delta x 时，相应的函数有增量 f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0) ，如果极限
\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}} 存在，那么称此极限为函数在该点对 x 的偏导数，
记作 \frac{∂z}{∂x}| _{x=x_0,y=y_0},\frac{∂f}{∂x}| _{x=x_0,y=y_0},z_x| _{x=x_0,y=y_0},f_x(x_0,y_0)
（同样可以定义对 y 的偏导数）
那么如果对于区域内的每一点偏导数都存在，就可以形成函数，称为函数对自变量的偏导函数，记作
\frac{∂z}{∂x},\frac{∂f}{∂x},z_x,f_x(x,y) （对 y 也是如此）
（注意：偏导数记号是一个整体，一般不能视为商）
（注意：偏导数就是固定其中的一个变量，就相当于在三维空间中确定一个平面，看剩余两个变量之间的函数关系，求的也可以看作这个平面上的导数）
（就是求对谁的偏导，就把其他变量当作常数，运用一元函数的求导法则）
（偏导数的概念可以推广到二元以上的函数）
（在求解时，可以先将固定的那几个变量先代入，再求导，或者可以先对要求变量求导，再带入其他变量的值，或者使用定义）
（注意：在求分段点或不连续点处的导数要用定义求）
（2）偏导数的几何意义
偏导数 f_x(x_0,y_0) 就是曲线被平面 y=y_0 所截得的曲线在这个点的切线对 x 轴的斜率。
偏导数 f_y(x_0,y_0) 就是曲线被平面 x=x_0 所截得的曲线在这个点的切线对 y 轴的斜率。
（3）偏导数与连续性的关系
多元函数中如果某点的各偏导数都存在，也不能说明在这个点连续。
多元函数如果在某点连续，也不能说明各偏导数都存在
（4）高阶偏导数
首先函数有一阶偏导数 f_x(x,y),f_y(x,y) ，如果对于这两个函数，其偏导数仍然存在，就叫二阶偏导数
（考虑两次求导过程中没有规定对谁，所以就有四种情况，都对 x 或 y ，或先对 x 再对 y ，或先y再x）
就是 f_{xx}(x,y),f_{yy}(x,y),f_{xy}(x,y),f_{yx}(x,y)
（这样就可以推广到更高阶）
（注意到都对同一个变量求的时候可以不用考虑次序问题，但是混合在一起时需要考虑顺序）
定理：
如果函数 z=f(x,y) 的两个二阶混合偏导数 \frac{∂^2z}{∂x∂y} 及 \frac{∂^2z}{∂y∂x} 在区域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
（也就是说，只要连续，求导次序对最后结果没有影响）
（同样该结论可以推广到高阶，注意连续条件）
（初等函数显然各阶偏导数在定义区域内都是连续的，可以直接用结论）
三、全微分
（1）规定：
全增量： \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)
在二元函数中对 x 而言（ y 类似）
偏增量 f(x+\Delta x,y)-f(x,y) \approx f&#39;(x,y)\Delta x 偏微分
定义：
设函数 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的某邻域内有定义，如果函数在该点的全增量 \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) 可以表示成为
\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)
其中 A、B 不依赖于 \Delta x、\Delta y 而仅与 x 和 y 有关， \rho=\sqrt{ (\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ， o(\rho) 是 \rho 的高阶无穷小，那么就称函数在这一点可微分，函数在该点的全微分记作 dz=A\Delta x+B\Delta y ,
（如果函数在区域 D 内每一点都可微，那么就称函数在区域内可微）
（2）可微与连续的关系
函数在该点可微，说明函数在这一点一定连续。
函数在该点连续，不能说明在这一点可微。
（3）函数可微的条件
定理1（必要条件）
如果函数 z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微分，那么该函数在该点的偏导数 \frac{∂z}{∂x} 和 \frac{∂z}{∂y} 必定存在，且函数在该点的全微分为 dz=\frac{∂z}{∂x}\Delta x+\frac{∂z}{∂y} \Delta y
（注意，此处是必要条件，不是充分条件，反过来不成立）
（也就是说，偏导数存在时，可以写出来这个形式，但是那个高阶无穷小不能被忽略，可能是一个足以影响结论的值）
定理2（充分条件）
如果函数 z=f(x,y) 的偏导数 \frac{∂z}{∂x} 和 \frac{∂z}{∂y} 在该点处连续，那么函数在该点可微分。
（连续指的是在该点的某个邻域内存在，偏导数在这个邻域内有定义，偏导函数在这个点连续）
记 dz=\frac{∂z}{∂x}dx+\frac{∂z}{∂y} d y
（也就是叠加原理，二元函数的全微分等于两个偏微分之和）
（可以推广到三元及三元以上函数）
（4）多元函数连续，偏导，可微的关系
（5）全微分在近似计算中的应用
四、多元复合函数的求导法则
1.一元函数与多元函数复合的情形
定理1：
如果函数 u=\varphi(t) 和 v=\psi(t) 都在点 t 可导，函数 z=f(u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，那么复合函数 z=f[\varphi(t),\psi(t)] 在点 t 可导，且有：
\frac{dz}{dt}=\frac{∂z}{∂u}\frac{du}{dt}+\frac{∂z}{∂v}\frac{dv}{dt}
以上公式中导数 \frac{dz}{dt} 称为全导数。
（注意：求导过程使用树状图确定中间变量和最终变量，画图最佳）
（这里就是基本的复合函数求导，注意中间变量本身也是自变量的函数）
（可以推广多个中间变量）
（例如三个中间变量 u=\varphi(t) 、 v=\psi(t) 和 w=\omega (t) ）
（ \frac{dz}{dt}=\frac{∂z}{∂u}\frac{du}{dt}+\frac{∂z}{∂v}\frac{dv}{dt}+\frac{∂z}{∂w}\frac{∂w}{∂t} ）
2.多元函数与多元函数复合情形
定理2：
如果函数 u=\varphi (x,y) 和 v=\psi (x,y) 都在点 (x,y) 具有对 x 及对 y 的偏导数，函数 z=f(u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，那么复合函数 z=f[\varphi (x,y),\psi (x,y)] 在点 (x,y) 的两个偏导数都存在，且有
\frac{∂z}{∂x}=\frac{∂z}{∂u}\frac{∂u}{∂x}+\frac{∂z}{∂v}\frac{∂v}{∂x}
\frac{∂z}{∂y}=\frac{∂z}{∂u}\frac{∂u}{∂y}+\frac{∂z}{∂v}\frac{∂v}{∂y}
（求复合函数偏导数的链式法则）
（就是在定理1的情形下考虑到了多了一个自变量，分别求偏导就行）
（注意这里的两个自变量是没有关系的）
（推广至多个函数）
（例三个函数 ，加上 w=\omega (x,y) ，只需在对应的偏导数右侧加上 \frac{∂z}{∂w}\frac{∂w}{∂(x/y)} ）
（即 \frac{∂z}{∂x}=\frac{∂z}{∂u}\frac{∂u}{∂x}+\frac{∂z}{∂v}\frac{∂v}{∂x}+\frac{∂z}{∂w}\frac{∂w}{∂x} ）
3.其他情形
（1）定理3：
如果函数 u=\varphi (x,y) 在点 (x,y) 具有对 x 及对 y 的偏导数，函数 v=\psi (y) 在点 y 可导，函数 z=f(u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，那么复合函数 z=f(\varphi (x,y),\psi(y)) 在点 (x,y) 的两个偏导数都存在，且有：
\frac{∂z}{∂x}=\frac{∂z}{∂u}\frac{∂u}{∂x}
\frac{∂z}{∂y}=\frac{∂z}{∂u}\frac{∂u}{∂y}+\frac{∂z}{∂v}\frac{dv}{dy}
（实际是定理2的一种特殊情形，其中一个中间变量只是一个自变量的函数）
（2）复合函数里面既有中间变量又有自变量
如果是这种形式： z=f(\varphi (x,y),x,y) ，其余条件基本一致
则有：
\frac{∂z}{∂x}=\frac{∂f}{∂u}\frac{∂u}{∂x}+\frac{∂f}{∂x}
\frac{∂z}{∂y}=\frac{∂f}{∂u}\frac{∂u}{∂y}+\frac{∂f}{∂y}
（可以看作定理2推广情形的变式，三个中间变量，只是后面两个就是自变量）
（注意： \frac{∂z}{∂x} 和 \frac{∂f}{∂x} 是不一样的， z 是整个复合函数里面的 y 都当做不变进行求导， f 是把中间变量 u 和 y 都看作不变进行求导）
总结：
①求导之前先画出树状图，确定中间变量和自变量的关系与个数
②注意：分段用乘，分叉用加，单路用 d ，叉路用 ∂
注意：
为了方便起见，引入以下符号：
f&#39;_1=\frac{∂f(u,v)}{∂u} , f&#39;_2=\frac{∂f(u,v)}{∂v} 表示分别对前一个和后一个的偏导，
同理可以定义更多变量和高阶导数，例如
f&#39;&#39;_{12}=\frac{∂^2f(u,v)}{∂u∂v}
（注意：一般情况下12和21是没有区别的，化简应该合并）
（3）多元复合函数全微分的形式不变性
设函数 z=f(u,v) 具有连续偏导数，则有全微分
dz=\frac{∂z}{∂u}du+\frac{∂z}{∂v}dv
如果 u 和 v 又是中间变量，即 u=\varphi (x,y) 和 v=\psi (x,y) 且这两个函数也具有连续的偏导数，那么复合函数 z=f[\varphi(t),\psi(t)] 的全微分是
dz=\frac{∂z}{∂x}dx+\frac{∂z}{∂y}dy
（注意：这里有）
dz=\frac{∂z}{∂x}dx+\frac{∂z}{∂y}dy=(\frac{∂z}{∂u}\frac{∂u}{∂x})dx+(\frac{∂z}{∂v}\frac{∂v}{∂x})dy
=\frac{∂z}{∂u}(\frac{∂u}{∂x}dx+\frac{∂u}{∂y}dy)+\frac{∂z}{∂v}(\frac{∂v}{∂x}dx+\frac{∂v}{∂y}dy)=\frac{∂z}{∂u}du+\frac{∂z}{∂v}dv
（由此可见，不论是自变量还是中间变量，全微分的形式都是一致的）
这个性质叫做全微分形式的不变性
（注意：不要把中间变量和自变量混杂在一起）
还要注意到：
du=\frac{∂u}{∂x}dx+\frac{∂u}{∂y}dy
dv=\frac{∂v}{∂x}dx+\frac{∂v}{∂y}dy
五、隐函数的求导公式
1.一个方程的情形
(我们所考察的隐函数存在性，都是在平面上某点附近来研究的.因此下面的定理也称为隐函数的局部存在性定理)
隐函数存在定理1：
设函数 F(x,y) 在点 P_0(x_0,y_0) 的某一邻域内具有连续偏导数，且 F(x_0,y_0)=0 ， F_y(x_0,y_0)\ne0 ，则方程 F(x,y)=0 在点 (x_0,y_0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y=f(x) ，它满足条件 y_0=f(x_0) ，并有
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}
隐函数存在定理2：
设函数F F(x,y,z) 在点 P_0(x_0,y_0,z_0) 的某一邻域内具有连续偏导数，且 F(x_0,y_0,z_0)=0 ， F_z(x_0,y_0,z_0)\ne0 ，则方程 F(x,y,z)=0 在点 (x_0,y_0,z_0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 z=f(x,y) ，它满足条件 z_0=f(x_0,y_0) ，并有
\frac{∂z}{∂x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{∂z}{∂y}=-\frac{F_y}{F_z}
（题目中也可以使用全微分的不变性同时求出各偏导数）
2.方程组的情形
隐函数存在定理3：
设 F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在点 P_0(x_0,y_0,u_0,v_0) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，，又 F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0、G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0 ，且偏导数所组成的函数行列式（或叫雅可比行列式）
J=\frac{∂(F,G)}{∂(u,v)}
在点 P_0(x_0,y_0,u_0,v_0) 不等于零，则方程组 F(x,y,u,v)=0、G(x,y,u,v)=0 在点 P_0(x_0,y_0,u_0,v_0) 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u(x,y),v=v(x,y) ，她们满足条件 u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0) ，并有
（雅可比行列式：）
（就是线性代数中的克莱姆法则）
（把原来给出的两个函数改变成 u=u(x,y),v=v(x,y) 这种隐函数）
（注意：考虑到其运算的复杂性，一般不直接使用定理的结论，而是直接隐函数求导，例如直接对 x 求导，对方程组直接凑形式消元即可）
六、多元函数微分学的几何应用
1.一元向量值函数及导数
空间曲线 \Gamma 的参数方程为 t\in [\alpha,\beta]
x=\varphi(t)
y=\psi(t)
z=\omega(t)
这个方程组可以改写成向量形式，即
若记 r = x i+ y j + z k
f ( t ) = \varphi(t) i + \psi (t) j + \omega (t) k
那么方程组就可以变成向量方程 r = f ( t ) t\in [\alpha,\beta]
定义1：
设数集 D\subset R ，则称映射 f:D\rightarrow R^n 为一元向量值函数，通常记为r = f ( t ) ，其中数集 D 叫定义域， t 是自变量，r 是因变量
定义2：
定义3：
2.空间曲线的切线与法平面
（1）
设空间曲线 \Gamma 的参数方程为 t\in [\alpha,\beta]
x=\varphi(t)
y=\psi(t)
z=\omega(t)
其中这三个函数都在定义域上可导，并且她们不同时为零。
则对于曲线上一点 M_0(x_0,y_0,z_0) ，对应的参数为 t_0 ，那么在这一点的切线方程为
\frac{x-x_0}{\varphi &#39;(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi&#39;(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega&#39;(t_0)}
切向量：切线的方向向量
T = (\varphi&#39;(t_0),\psi&#39;(t_0),\omega&#39;(t_0))
法平面：过这个点且与切线垂直的平面
\varphi&#39;(t_0)(x-x_0)+\psi&#39;(t_0)(y-y_0)+\omega&#39;(t_0)(z-z_0)=0
（特殊情形： x=\varphi(t)=t ）
就是只有两个式子
y=\psi(x)、z=\omega(x)
那么 \varphi&#39;(t_0)=1
（2）
设空间曲线 \Gamma 的方程为
F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0
点 M_0(x_0,y_0,z_0) 是曲线上一点，又设 F、G 有对各个变量连续的偏导数，且
J=\frac{∂(F,G)}{∂(y,z)}|_{(x_0,y_0,z_0)}\ne 0 ，此时在这一点的某一邻域内就有
\Gamma 可表示为
y=\varphi(x)
z=\psi(x)
代回原方程有
F(x,\varphi(x),\psi(x))=0
G(x,\varphi(x),\psi(x))=0
然后对 x 求全导，
解出
此时
切线方程：
法平面：
（有的时候直接套公式不如直接解上面的方程组）
（但是要注意找清楚谁是要求的，谁是已知的）
3.曲面的切平面与法线
定义：
设 M(x_0,y_0,z_0) 为曲面 \sum 上一点，如果 \sum 上过点 M 的任意一条光滑曲线在该点处的切线都在同一平面 \pi 上，则 \pi 叫切平面，过切点与切平面垂直的直线就叫法线。
情况1： F(x,y,z)=0
假定参数方程为
x=\varphi(t)
y=\psi(t)
z=\omega(t)
t=t_0 对应点 M(x_0,y_0,z_0) ，并且这三个函数的导数在该点不全为零，
曲线的切线方程：
\frac{x-x_0}{\varphi &#39;(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi&#39;(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega&#39;(t_0)}
引入向量 n
n =(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0))
该点处的切向量：
T = (\varphi&#39;(t_0),\psi&#39;(t_0),\omega&#39;(t_0))
（并且 n 与 T 垂直）
切平面：
F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0
法线：
\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}
情况2： z=f(x,y)
令 F(x,y,z)=f(x,y)-z
满足一系列连续存在不为零条件
在点处的：
法向量：
n =(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)
法线：
\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}
切平面：
f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0
或
z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)
对于第二个表达式，有全微分的几何意义：
右侧是函数 z=f(x,y) 在该点处的全微分，左侧是切平面上点的竖坐标的增量
如果用 \alpha、\beta、\gamma 表示法向量的方向角，并且假定 \gamma 为锐角，有方向余弦：
cos \alpha=\frac{-f_x}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}
cos \beta =\frac{-f_y}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}
cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}
情况3：
空间中任意一条曲线都可以看成两个曲面的交线，故方程为：
F=0,G=0
在曲线上取定一点 M ，就可以写出两个曲面在这一点的唯一切平面
求曲线在该点的切线，那么切线一定在这两个切平面上，就一定是这两个平面的交线。
将切线转化为交线的方向向量。
可以使用向量的叉乘来求解。
七、方向导数与梯度
（1）偏导数
（偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，但是需要讨论沿任一指定方向的变化率问题）
平面上一条射线的参数方程：
同方向的单位向量： (cos\alpha,sin\beta)
x=x_0+t cos\alpha
y=y_0+tsin\beta (t\geq0)
定义：
设函数 z=f(x,y) 在点 P_0(x_0,y_0) 的某个邻域 U(P_0) 内有定义， P(x_0+tcos\alpha,y_0+tsin\beta) 为一条射线 l 上的另外一点，并且 P\in U(P_0) 。
如果函数增量 f(x_0+tcos\alpha,y_0+tsin\beta)-f(x_0,y_0) 与点 P 点 P_0 之间的距离 |PP_0|=t 的比值
\frac{f(x_0+tcos\alpha,y_0+tsin\beta)-f(x_0,y_0)}{t}
当点 P 沿射线趋于 P_0 （就是 t\rightarrow 0^+ ）时的极限存在，那么就称这个极限为函数在 P_0 点沿着方向 l 的方向导数。记作 \frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}
展开式为：
\frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}=\lim_{t \rightarrow 0^+}{\frac{f(x_0+tcos\alpha,y_0+tsin\beta)-f(x_0,y_0)}{t}}
（定义推广至三元函数就是再增加一个维度）
几何意义：
就是函数 f(x,y) 在一点处沿着方向 l 的变化率
偏导数与方向导数的关系：
函数在这一点的方向导数存在，不能说明偏导数也存在。
（注意：定义的时候是射线 l ，也就是说，如果方向导数具体到偏导数，也就是沿着 x 轴或者 y 轴，如果沿着正向，那么就是偏导数，但是如果是沿着坐标轴负向，那么就是偏导数的相反数）
定理：
如果函数 f(x,y) 在点 P_0(x_0,y_0) 可微分，那么函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且有：
\frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0)cos\beta
其中 cos\alpha,cos\beta 是方向 l 的方向余弦。
定理推广至三元函数：
函数 u=f(x,y,z) 在一点沿方向 l 的方向导数：
（满足类似的定理条件）
\frac{∂f}{∂l}=\frac{∂f}{∂x}cos\alpha+\frac{∂f}{∂y}cos\beta+\frac{∂f}{∂z}cos\gamma
（2）梯度
梯度用来考虑函数在点处哪一个方向增加速度最快
定义：
设函数 z=f(x,y) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对 D 内任意一点 P_0(x_0,y_0) ，都可以定义一个向量：
\frac{∂f}{∂x} i + \frac{∂f}{∂y} j （或 f_x(x_0,y_0) i + f_y (x_0,y_0) j ）
称这个向量为函数在该点的梯度。记作 gradf(x_0,y_0)
（或 ▽f(x_0,y_0) ，其中记 ▽=\frac{∂}{∂x} i+\frac{∂}{∂y}j ，叫做（二维的）向量微分算子或 Nabla 算子）
（也可以继续推广到三元，再增加一个维度就可以）
梯度与方向导数的关系：
如果函数 z=f(x,y) 在 P_0(x_0,y_0) 可微分， e_i=(cos\alpha,cos\beta) 是与方向 l 同向的单位向量，那么
\frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0)cos\beta
=gradf(x_0,y_0)\cdot e_i = |gradf(x_0,y_0)|cos\theta
其中 \theta 是梯度向量和单位向量的夹角
① \theta=0
两个向量方向一致，函数增加最快
（也说明这个梯度向量的方向是方向导数取最大值时候的方向，它的模就是方向导数的最大值）
② \theta=\pi
两个向量方向相反，函数减少最快，这个方向上方向导数是最小值
\frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}= -|gradf(x_0,y_0)|
③ \theta=\frac{\pi}{2}
两个向量正交，此时函数的变化率为零
\frac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}=0
（显然，方向导数就是梯度在该方向上的投影）
（简单的记，沿梯度方向函数值增加最快，沿梯度相反方向减少最快）
几何意义：
几何上 z=f(x,y) 表示一个曲面，用平面 z=c 去截，曲面在这个平面上形成的曲线，再投影到 xOy 面上
这个曲线就叫等值线（等高线）
（就是 f(x,y)=c ）
（类似地理上的等高图，等温图，一圈一圈）
如果 f_x,f_y 不同时为零，则等值线 f(x,y)=c 上任意一点的法线斜率：
-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{f_y}{f_x}
（其中梯度是等值线上这一点的法向量，方向应该从数值较低的等值线指向数值较高的等值线）
（也可以推广至三元函数，就叫做等值面）
梯度的基本运算公式：
gradC= 0
grad(Cu)=Cgradu
grad(u \pm v)=gradu\pm gradv
grad(uv)=ugradv+vgradu
gradf(u)=f&#39;(u)gradu
八、多元函数的极值及其求法
定义：
极值：极大值和极小值的统称
极值点：函数取得极值的点
（极值的概念可以推广到 n 元函数）
定理1：（二元函数极值存在的必要条件）
设函数 z=f(x,y) 在点 (x_0,y_0) 具有偏导数，，且在这一点处有极值，则有：
f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0
（从几何上讲，就是这一点的切平面是平行于 xOy 面的）
（从其形式就可以看出 z-z_0=0 ）
驻点：能使 f_x(x,y)=0,f_y(x,y)=0 同时成立的点
（极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点）
推广后：凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点
（注意：二元函数的极值点除可能在驻点处取得外，还可能在使得两个偏导数中至少一个不存在的点处产生，比如函数 z=|x| 它关于 x 的偏导数不存在）
定理2：（充分条件）
设函数 z=f(x,y) 在点 (x_0,y_0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又有 f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0 。令：
f_{xx}(x_0,y_0)=A
f_{xy}(x_0,y_0)=B
f_{yy}(x_0,y_0)=C
则 f(x,y) 能否取得极值的条件如下：
① AC-B^2>0
具有极值，且当 A<0 时有极大值， A>0 时具有极小值
② AC-B^2<0
没有极值
③ AC-B^2=0
无法判断是否是极值，本方法失效，需要另寻他法。
最值点：考虑极值点的同时要注意边界点。
极值问题：
（1）无条件极值
对自变量只有定义域范围限制，，各自变量之间相互独立
（2）条件极值
对自变量除了定义域限制之外，还有其他限制，即自变量之间不相互独立，存在函数关系
（条件极值问题应该通过多出来的限制条件进行转化，变成无条件极值进行求解）
（或者使用拉格朗日数乘法求解）
拉格朗日数乘法：
函数 z=f(x,y) 在 \varphi(x,y)=0 条件下的极值
构造拉格朗日函数 L(x,y)=f(x,y)+\lambda(x,y)
其中 \lambda 为参数，分别求一阶偏导，只需解下面的方程组：
f_x(x,y)+\lambda \varphi_x(x,y)=0
f_y(x,y)+\lambda \varphi_y(x,y)=0
\varphi(x,y)=0
解出 x,y,\lambda ，其中这个点 (x,y) 就是可能的极值点 |
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发表于 2022-9-23 11:21:27